투자

프랙탈 시스템, 시장 수익률은 빈도보다 사이즈다

NeoTrois 2019. 9. 20. 20:29

베노이트 만델브로트는 1924년 폴란드 바르샤바 출생으로 제2차 세계대전 중 나치스의 박해를 받았다. 독창성이 뛰어 났으나 정규 교육을 제대로 이수하지는 못했다.

그는 혼돈이론의 열쇠로 일컬어지는 프랙탈(fractal) 기하학의 창시자다.

프랙탈은 뉴톤 역학으로 설명할 수 없는 복잡한 자연질서를 설명하는 이론이다. 만델브로트는 프랙탈 이론이 적용될 수 있는 대표적인 예가 금융시장이라고 주장했다.

베노이트 만델브로트는 <윌가에 적합한 복합 프랙탈 이론>에서
"포트폴리오 이론의 첫째 가정은 가격변화가 통계적으로 서로 독립적이라는 것이다. 둘째 가정은 가격변화의 분포가 정규 분포의 종(bell) 모양을 하고 있다는 것이다. 실제 시장 데이터들이 이런 가정을 만족하는가? 당연히 그렇지 않다."고 말한다.

금융 표준이론에서 자산가격은 정규분포를 따른다고 가정한다. 이 가정은 대부분의 경우 대체로 정확하게 맞아서 분석을 할 때 표준의 평균과 평균에서 발생하는 편차를 간단히 구하는 확률통계를 사용할 수 있도록 해 준다.

그러나 인간이 만든 주식시장을 포함해서 자연계의 많은 현상은 정규분포를 따르지 않는다. 자연계에 존재하는 많은 시스템은 두 가지로 정의되는 특성을 가지고 있다.

수는 많지만 크기가 작은 조각과 비슷하게 보이지만 크기가 다른 조각이다. 예를 들어 나무는 커다란 하나의 등걸과 크기가 작은 여러개의 가지로 이루어져 있다. 작은 가지는 큰 가지와 유사하게 생겼다. 이런 시스템을 프랙탈(fractal)이라고 한다.

프랙탈 시스템은 금융위기나 주가 대폭락 등을 잘 설명해 준다(출저 : 미래의 투자)

프랙탈 시스템(fractal system)은 부분과 전체가 같은 모양을 하고 있는 시스템이라고 할 수 있다. 

눈송이를 자세히 들여다 보면 마치 나뭇가지와 같은 형상을 하고 있는 것을 볼 수 있다. 눈송이를 구성하는 가지를 다시 더 크게 확대해서 보면 역시 비슷한 가지가 나타난다. 이처럼 자기 복제에 의해 부분이 전체를 형성하는 것을 프랙탈이라고 한다.

프랙탈은 정규분포와 달리 적절하게 특정짓는 평균을 가지지 않는다. 프랙탈 시스템은 파워법칙을 따른다. 프랙탈 시스템이 적용되는 금융시장에 정규분포를 분석할 때 쓰는 통계기법을 적용하면 매우 해로운 결과를 가져올 수 있다. 그렇지만 이론가들은 매일 이런 일을 하고 있다고 마이클 모바신은 지적한다.

만델브로트는 주가는 다수의 작은 변동 속에 커다란 변동이 군데 군데 뿌려져 있다고 한다. 투자자들이 프랙탈시스템에서 정규 분포를 벗어나는 뚱뚱한 꼬리가 언제 출현하는지 예의 주시해야 하는 까닭이다. 

금융 시장의 수익률은 정규분포 밖에서 결정되는 경우가 많기 때문이다. 시장 수익률은 빈도보다는 사이즈가 결정적인 역할을 한다. 

참고서적 

『미래의 투자(MORE THAN YOU KNOW)』 마이클 모바신 저, 정명수 옮김, 위즈덤하우스, 2007년